Dieser Text beschreibt Hermitesche Form.
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Hermitesche Form ArtikelAls Hermitesche Form (nach Charles Hermite) bezeichnet man in der linearen Algebra eine Sesquilinearform mit Hermitescher Symmetrie.
Das heißt: mit einem Vektorraum V über einem Körper K ist eine Hermitesche Form eine Abbildung
- f : V × V → K,
die für alle x, y, z aus V und für alle a, aus K die folgenden Bedingungen erfüllt:
- (1) <x,ay+z> = a<x,y>+<x,z> (linear in einem Argument);
- (2) <ax+y,z> = a*<x,z>+<y,z> (semilinear in dem anderen Argument);
- (3) <x,y> = <y,x>* (Hermitesche Symmetrie).
Dabei genannt * komplexe Konjugation.
Für die Reihenfolge von linearem und semilinearem Argument gibt es unterschiedliche Konventionen.
Aus den Merkmal (1) und (3) folgt bereits (2), oder aus (2) und (3) folgt (1); ca. um der Übersichtlichkeit willen sind sowohl (1) als auch (2) als Bedingungen genannt worden.
Relevant ist der Begriff der Hermiteschen Form ca. über dem Körper der komplexen Zahlen C; über den reellen Zahlen ist jede Hermitesche Form eine symmetrische Bilinearform.
Das innere Produkt über einem komplexen Vektorraum ist eine Hermitesche Form.
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